高精度运算，是指参与运算的数(加数，减数，因子……）范围大大超出了标准数据类型（整型，实型）能表示的范围的运算。例如，求两个20000位的数的和。这时，就要用到高精度算法了。
定义
高精度加法
高精度运算主要解决以下三个问题：
一、加数、减数、运算结果的输入和存储
运算因子超出了整型、实型能表示的范围，肯定不能直接用一个数的形式来表示。在Pascal中，能表示多个数的数据类型有两种：数组和字符串。
数组：每个数组元素存储1位（在优化时，这里是一个重点！），有多少位就需要多少个数组元素；用数组表示数的优点：每一位都是数的形式，可以直接加减；运算时非常方便。用数组表示数的缺点：数组不能直接输入；输入时每两位数之间必须有分隔符，不符合数值的输入习惯；
字符串：String型字符串的最大长度是255，可以表示255位。Ansistring型字符串长度不受限制。用字符串表示数的优点：能直接输入输出，输入时，每两位数之间不必分隔符，符合数值的输入习惯；用字符串表示数的缺点：字符串中的每一位是一个字符，不能直接进行运算，必须先将它转化为数值再进行运算；运算时非常不方便；
综合以上所述，对上面两种数据结构取长补短：用字符串读入数据，用数组存储数据：
var st:string;
x,y:array[0..255]of integer;{定义两个数组,X和Y,用来储存数}
i,j,l1,l2:integer;
begin
readln(st);
l1:=length(st);{------length(x),该函数是获取字符串X的长度，返回为整型}
for i:=0 to 255 do x[i]:=0;{数组初始化，该句等价于‘fillchar（x,sizeof(x),o）；’，即给一数组整体赋值，但运行速度快于用‘for’语句对数组中的每一个数赋值}
for i:=l1 downto 1 do
x[l1-i+1]:=ord(st[i])-ord('0');{------这里是重点，把字符串转换为数值，储存在数组中}
readln(st);
l2:=length(st);{------length(x),该函数是获取字符串X的长度，返回为整型}
for i:=0 to 255 do y[i]:=0;{数组初始化，该句等价于‘fillchar（y,sizeof(y),o）；’}
for i:=l2 downto 1 do
y[l2-i+1]:=ord(st[i])-ord('0');{------这里是重点，把字符串转换为数值，储存在数组中}
对字符串转为数值原理补充:ord(x)-48,如果X='1',因为'1'的ASCLL码是49,所以减去48就等于1,间接地把字符转换为数值了，各位初手要好好体会.
二、运算过程
在往下看之前，大家先列竖式计算35+86。
注意的问题：
（1）运算顺序：两个数靠右对齐；从低位向高位运算；先计算低位再计算高位；
（2）运算规则：同一位的两个数相加再加上从低位来的进位，成为该位的和；这个和去掉向高位的进位就成为该位的值；如上例：3+8+1=12，向前一位进1，本位的值是2；可借助MOD、DIV运算完成这一步；
（3）最后一位的进位：如果完成两个数的相加后，进位位值不为0，则应添加一位；
（4）如果两个加数位数不一样多，则按位数多的一个进行计算；
if l1 for i:=1 to l1 do begin x[i]:=x[i]+y[i]; x[i+1]:=x[i+1]+x[i] div 10; x[i]:=x[i] mod 10; end; 三、结果的输出（这也是优化的一个重点） 按运算结果的实际位数输出 var st:string; x,y:array[0..255]of integer; i,j,l1,l2:integer; begin readln(st); l1:=length(st); for i:=0 to 255 do x[i]:=0; for i:=l1 downto 1 do x[l1-i+1]:=ord(st[i])-ord('0'); readln(st); l2:=length(st); for i:=0 to 255 do y[i]:=0; for i:=l2 downto 1 do y[l2-i+1]:=ord(st[i])-ord('0'); if l1 for i:=1 to l1 do begin x[i]:=x[i]+y[i]; x[i+1]:=x[i+1]+x[i] div 10; x[i]:=x[i] mod 10; end; write('x+y='); j:=255; while x[j]=0 do j:=j-1; for i:=j downto 1 do write(x[i]); readln; end. 四、优化： 以上的方法的有明显的缺点： （1）浪费空间：一个整型变量（-32768~32767）只存放一位（0~9）； （2）浪费时间：一次加减只处理一位； 针对以上问题，我们做如下优化：一个数组元素存放四位数；（integer的最大范围是32767，5位的话可能导致出界）将标准数组改为紧缩数组。第一步的具体方法： l:=length(s1); k1:=260; repeat {————有关字符串的知识} s:=copy(s1,l-3,4); VAL(s,a[k1],code); k1:=k1-1; s1:=copy(s1,1,l-4); l:=l-4; until l<=0; k1:=k1+1; 而因为这个改进，算法要相应改变： （1）运算时：不再逢十进位，而是逢万进位（mod 10000; div 10000); （2）输出时：最高位直接输出，其余各位，要判断是否足够4位，不足部分要补0；例如：1，23，2345这样三段的数，输出时，应该是100232345而不是1232345。 改进后的算法： var a,b:string; k,i,c,d:longint; e,z,y:array[0..255]of integer; begin readln(a); readln(b); if length(b)>length(a) then for i:=1 to length(b)-length(a) do a:='0'+a else for i:=1 to length(a)-length(b) do b:='0'+b; for i:=length(a) downto 1 do begin c:=ord(a[i])-48; d:=ord(b[i])-48; if c+d<10 then e[i]:=e[i]+c+d else begin e[i]:=e[i]+c+d-10;e[i-1]:=1; end; end; if e=1 then k:=0 else k:=1; for i:=k to length(a) do write(e[i]); end. C++参考程序： #include #include #include using namespace std; int main() { char a1,b1; int a,b,c,lena,lenb,lenc,i,x; memset(a,0,sizeof(a)); memset(b,0,sizeof(b)); memset(c,0,sizeof(c)); gets(a1); gets(b1); //输入加数与被加数 lena=strlen(a1); lenb=strlen(b1); for (i=0;i<=lena-1;i++) a[len阿伦·艾弗森]=a1[i]-48; //加数放入a数组 for (i=0;i<=lenb-1;i++) b[lenB.I]=b1[i]-48; //加数放入b数组 lenc =1; x=0; while (lenc <=lena||lenc <=lenb) { c[lenc]=a[lenc]+b[lenc]+x; //两数相加 x=c[lenc]/10; c[lenc]%=10; lenc++; } c[lenc]=x; if (c[lenc]==0) lenc--; //处理最高进位 for (i=lenc;i>=1;i--) cout< return 0; } 和高精度加法相比，减法在差为负数时处理的细节更多一点：当被减数小于减数时，差为负数，差的绝对值是减数减去被减数；在程序实现上用一个变量来存储符号位，用另一个数组存差的绝对值。 算法流程:(1).读入被减数S1，S2（字符串）； (2).置符号位：判断被减数是否大于减数：大则将符号位置为空；小则将符号位置为“- ”，交换减数与被减数； (3).被减数与减数处理成数值，放在数组中； (4).运算：A、取数； B、判断是否需要借位； C、减，将运算结果放到差数组相应位中； D、判断是否运算完成：是，转5；不是，转A； (5).打印结果：符号位，第1位，循环处理第2到最后一位； 细节：▲如何判断被减数与减数的大小？ 如果位数一样，直接比较字符串大小；否则，位数多的大。 k1:=length(s1); k2:=length(s2); if k1=k2 then if s1 else if k1 ▲将字符串处理成数值： l:=length(s1);{求出s1的长度，也即s1的位数；有关字符串的知识。} k1:=260; for i:=l downto 1 do begin a[k1]:=ord(s1[i])-48;{将字符转成数值} k1:=k1-1; end; k1:=k1+1; ▲运算（减法跟加法比较，减法退位处理跟加法进位处理不一样）： 处理退位：跟加法一样，在for语句外面先将退位清零，用被减数再减去退位，{注意：由于每一个数位不一定都得向前一位借位，所以这里退位得清零。例如，234-25，个位需借位，而十位不用} 接着，再判断，当被减数某一位不够减时，则需加上前一位退位过来的数。注意：由于这里采用优化方法，所以退一位，就等于后一位加上10000。）最后，再拿一个数组来存储两个减数的差。 jw:=0; for i:=260 downto k1 do begin a[i]:=a[i]-jw;{此处jw为从刚处理的那一位上从本一位上的借位} jw:=0; {此处jw为I 位准备向高一位的借位} if a[i] begin jw:=1; a[i]:=a[i]+10000; end; c[i]:=a[i]-b[i] end; ▲打印结果：先找到差的第一个非零数，如果差的所有位数都为零，就直接输出零；如果不是，就输出符号位和差的第一位。剩下部分，打印补足零；因为优化后的高精度减法,是把每四个数位分成一段，而每一段则必须有四个数，当有一段不足四个数时，就得用"0"补足.(如：第一位是'1',第二位是'34',第三位是'345',第四位是'8', 则应写为'').注意：第一位不用补零,(如：第一位为'3',则写成'3'). while (c[k]=0) and (k<=260) do k:=k+1; if k>260 then write('0') else Begin write(fh,c[k]);{k是差的第1位；} for i:=k+1 to 260 do begin if c[i]<100 then write('0'); if c[i]<10 then write('0'); write(c[i]); end; end; 参考程序： program ZDloveQC; var s1,s2,s3,s4,s:string; a,b,c:array[1..260]of integer; i,k1,k2,l,code,jw:longint; fh:string; begin readln(s1); readln(s2); k1:=length(s1); k2:=length(s2); fh:=''; if k1=k2 then if s1 if k1 k1:=260; l:=length(s1); repeat s3:=copy(s1,l-3,4); VAL(s3,a[k1],code); dec(k1); s1:=copy(s1,1,l-4); l:=l-4; until l<=0; inc(k1); l:=length(s2); k2:=260; repeat s4:=copy(s2,l-3,4); val(s4,b[k2],code); 迪吉多(k2); s2:=copy(s2,1,l-4); l:=l-4; until l<=0; inc(k2); jw:=0; for i:=260 downto k1 do begin a[i]:=a[i]-jw; jw:=0; if a[i] begin jw:=1; a[i]:=a[i]+10000; end; c[i]:=a[i]-b[i]; end; while (c[k1]=0)and(k1<260) do inc(k1); if k1>260 then writeln('0') else Begin write(fh,c[k1]); for i:=k1+1 to 260 do begin if c[i]<1000 then write('0'); if c[i]<100 then write('0'); if c[i]<10 then write('0'); write(c[i]); end; end; end. C++参考程序： #include #include #include #include #include int const n=1000; typedef int arr[n]; int c[2*n+1]={}, i,j,k; arr a,b;void dushu(arr &s){int i=0,j,k,m; 单精度乘法是计算范围次于高精度乘法的一种运算，只是运算效率比高精度计算略高。 单精度乘法过程样例： const maxcount=进制位 maxlen=记录高精度数组大小 procedure mulnum(a:bignum;x:longint;,var c:bignum); var i:longint; begin fillchar(c,sizeof(c),0);c:=a; for i:=1 to c do c[i]:=a[i]*x; for i:=1 to c do {进位} begin inc(c[i+1],c[i] div maxcount); c[i]:=c[i] MOD 10; end; while c[c+1]>0 do begin inc(c); inc(c[c+1],c[c] div maxcount); c[c]:=c[c] mod maxcount; end; end; 高精度乘法基本思想和加法一样。其基本流程如下： ①读入被乘数s1，乘数s2 ②把s1、s2分成4位一段，转成数值存在数组a,b中；记下a,b的长度k1,k2； ③i赋为b中的最低位； ④从b中取出第i位与a相乘，累加到另一数组c中；（注意：累加时错开的位数应是多少位？） ⑤i:=i-1；检测i值：小于k2则转⑥,否则转④ ⑥打印结果 参考程序： program chengfa; const n=100; type ar=array [1..n] of integer; var a,b:ar; k1,k2,k:integer; c:array [1..200] of integer; s1,s2:string; procedure fenge(s:string;var d:ar; var kk:integer); {将s分割成四位一组存放在d中，返回的kk值指向d的最高位} var ss:string; i,code:integer; begin i:=length(s); kk:=n; repeat ss:=copy(s,i-3,4); VAL(ss,d[kk],code); kk:=kk-1; s:=copy(s,1,i-4); i:=i-4; until i<0; kk:=kk+1; end; procedure init; var i:integer; begin for i:=1 to n do begin a:=0; b:=0; end; for i:=1 to 2*n do c:=0; write('input 2 numbers:'); readln(s1); readln(s2); fenge(s1,a,k1); fenge(s2,b,k2); end; procedure jisuan; var i,j,m:integer; x,y,z,jw:longint; begin i:=n; k:=2*n; repeat x:=b; z:=0; m:=k; jw:=0; for j:=n downto k1 do begin y:=a[j]; z:=c[m]; x:=x*y+z+jw; jw:=x div 10000; c[m]:=x mod 10000; m:=m-1; x:=b; end; if jw<>0 then c[m]:=jw else m:=m+1; i:=i-1; k:=k-1; until i k:=m; end; procedure daying; var i:integer; begin write(c[k]); for i:=k+1 to 2*n do begin if c<1000 then write('0'); if c<100 then write('0'); if c<10 then write('0'); write(c); end; writeln; end; begin init; jisuan; daying; end. 教材“基础编”P87高精乘法参考程序： program ex3_1; var a,b,c:array[0..1000] of word; procedure init; var s:string; ok,i,j:integer; begin readln(s); a:=length(s); for i:=1 to a do VAL(s[a-i+1],a,ok); readln(s); b:=length(s); b:=length(s); for i:=1 to b do val(s[b-i+1],b,ok); end; procedure highmul; var i,j,k:integer; begin c:=a+b; for i:=1 to b do for j:=1 to a+1 do begin inc(c[i+j-1],a[j]*b mod 10); c[i+j]:=c[i+j]+(a[j]*b div 10)+(c[i+j-1] div 10); c[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 10; end; end; procedure print; var i:integer; begin while c[c]=0 do dec(c); for i:=c downto 1 do write(c); writeln; end; begin init; highmul; print; end. C++参考程序： #include 高精度除法： 1）.高精度除以整型数据(integer); 程序如下: program HighPrecision3_Multiply1; const fn_inp='hp5.inp'; fn_out='hp5.out'; maxlen=100; { max length of the number } type hp=record len:integer; { length of the number } s:array[1..maxlen] of integer { s is the lowest position s[len] is the highest position } end; var x,y:hp; z,w:integer; procedure PrintHP(const p:hp); var i:integer; begin for i:=p.len downto 1 do write(p.s[i]); end; procedure init; var st:string; i:integer; begin assign(input,fn_inp); reset(input); readln(st); x.len:=length(st); for i:=1 to x.len do { change string to HP } XS:=ord(st[x.len+1-i])-ord('0'); readln(z); close(input); end; procedure Divide(a:hp;b:integer;var c:hp;var d:integer); { c:=a div b ; d:=a mod b } var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); len:=a.len; d:=0; for i:=len downto 1 do { from high to low } begin d:=d*10+AS[i]; 计算机科学:=d div b; d:=d mod b; end; while(len>1) and (c.s[len]=0) do dec(len); c.len:=len; end; procedure main; begin Divide(x,z,y,w); end; procedure out_; begin assign(output,fn_out); rewrite(output); PrintHP(y); writeln; writeln(w); close(output); end; begin init; main; out_; end. 2）.高精度除以高精度 程序如下: 版本一： 版本二： 作为一种高精度乘法的扩展算法，实质为高精度乘低精度，算法如下： var a:array[1..10000] of longint; i,j,k,l,p,o,q,x,y,w:integer; begin read(i); a:=1; w:=1; for j:=1 to i do begin y:=0; //到“For”前可省，但改为for k:=1 to 10000 do x:=j; while x>0 do begin y:=y+1; x:=x div 10; end; o:=0; for k:=w to l+y+1 do begin q:=a[k]*j+o; o:=q div 10; a[k]:=q mod 10; end; l:=10000; while (a[l]=0) and (l>1) do l:=l-1; w:=1; while (a[w]=0) and (w<9999) do w:=w+1; end; for p:=l downto 1 do write(a[p]); writeln; end. 我们知道，C++是一个面向对象的语言。上述所有代码的实现都是面向过程的，都是以高精度运算为主体进行编程。然而，在实际应用中，高精度通常只作为程序的一部分而出现，在这样的情况下，上述代码难以直接移植、使用的特性暴露无遗。我们用C++的面向对象编程特性来做一次非常好用的高精度。 我们使用标准库vector做基类，完美解决位数问题，同时更易于实现。 高精度类型Wint包含一个低精度转高精度的初始化函数，可以自动被编译器调用，因此无需单独写高精度数和低精度数的运算函数，十分方便；还包含了一个在各类运算中经常用到的进位小函数。 平淡无奇，有很多读入的方法。这里偷个懒，直接读入一个字符串再转入Wint中。 比较，只需要写两个，其他的直接代入即可。值得注意的是，这里用常量引用当参数，避免拷贝更高效。 加法，先实现+=，这样更简洁高效。注意各个参数有别。 减法，返回差的绝对值，由于后面有交换，故参数不用引用。 乘法不能先实现*=，原因自己想。 除法和取模先实现一个带余除法函数。当然，高精度除法也可以用二分中华人民共和国档案法实现，不过效率过低且代码冗长，这里使用常规竖式除法。 通过重载运算符，还可以实现++、--、^、!、逻辑运算符等很多运算，十分简单，此处都不写了。 此时你几乎可以像int一般便捷地使用Wint，甚至可以把Wint和int混合使用。 顺手实现一个快速幂，可以看到和普通快速幂几乎无异。 上述高精度代码已经能满足正常使用需求了，不过仍然有优化和改进的空间： 一、万进制优化 用int保存个位数显然太过浪费，short型运算效率又没有int型高（绝大部分机器对int有特别优化），在这样的情况下，我们将改进后的Wint每位保存十进制下的四位（首位可能有前导0）即万进制。在这样的优化下，空间占用四分之一，加法快4倍，乘法16倍，而除法可达64倍之多。当然，这仍属于常数级优化，不过底层运算十分频繁的情况下还是值得考虑的。上述代码无需作出太大调整，只需输入输出、进位、减法除法等函数略加改进即可，代码略。 二、低精度优化 前面说过，目前高精度和低精度的运算会先将低精度提升到高精度再进行运算，这就有了优化空间。注意，这里的优化低精度是基于Wint是由int组成这一特点进行的，大于int型的别的类型（如long long）仍需提升到Wint再运算。考虑到低精度数位数在十位以内，优化后效率提升其实不到十倍。不过，在高精度和低精度混合运算十分频繁的情况下，专门写优化的高精度和低精度的运算也聊胜于无。这里先给出加法的优化示例。 三、初始化函数改进： 注意到初始化函数Wint(int n)会将大于int表示范围的类型数如（unsigned long long）先转为低精度再初始化，我们再增加（或者直接替换原先的）初始化函数，改为： 此外，在代码中如果想定义到一个高精度常量（20位向上），就必须增加一个字符串初始化函数而不能直接赋一个整型常数（想想为什么？）。但是，这个字符串初始化函数我们希望它不会像int型一样在运算中自动提升至Wint。否则，像s+7这样的表达式就会有意义（先将s隐形转换至Wint再进行加法运算，返回一个Wint型结果），但通常不符合我们的预期而仅仅只是代码错误，而编译时无法找出，会给我们调试代码带来很大麻烦。所以，这个字符串初始化函数前需加关键字explicit，来指出我们不希望隐式转换的发生。高精度减法
char b,ch;
scanf("%c",&ch);
while ((ch>=48)&& (ch <=57) )
{ i=i+1;
b[i]=ch;
scanf("%c",&ch);
} k=0; for(j=i; j>=1; j=j-1) { k=k+1; s[k]=b[j]-48; } }void shuchu(int c[n]) { int i=n; j=0; while ((c[i]==0) && (i>1)) i--; for (j=i; j>0; j--) printf("%d",c[j]); printf("\n"); } bool compare(arr &a,arr &b){ int i,j,k; for (i=n; i>0; i--) { if (a[i]>b[i]) {return true;} else if (a[i]
{
s=a[i]+b[i]+t;
c[i]=s % 10;
t=s / 10;
} shuchu(c); } void jianfa(arr &a, arr &b) { int i,j,k,s; memset(c,0,2*n+1); for (i=1; i<=n; i++) { if (a[i]>=b[i]) c[i]=a[i]-b[i]; else { c[i]=a[i]-b[i]+10; a[i+1]--; } } shuchu(c); }void chengfa(arr a, arr b) { int i,j,k,m; memset(c,0,2*n+1); for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=n; j++) { m=i+j-1; c[m]=a[j]*b[i]+c[m]; c[m+1]=c[m] / 10; c[m]=c[m]% 10; } shuchu(c); } main(){ dushu(a); dushu(b); jiafa(a,b); if (!compare(a,b)) { printf("%c",'-'); change(a,b); } jianfa(a,b); chengfa(a,b); system("pause"); return 0;}单精度乘法
高精度乘法
高精度除法
高精度阶乘
C++的优雅实现
实现
输入输出
大小比较
加法
减法
乘法
除法和取模
使用
优化与改进