在测度论中，叶戈罗夫定理确立了一个可测函数的逐点收敛序列一致连续的条件。这个定理以俄罗斯物理学家和几何学家德米特里·叶戈罗夫命名，他在1911年出版了该定理。叶戈罗夫定理与紧支撑连续函数在一起，可以用来证明可积函数的卢津定理。

定理的陈述

设为一个可分度量空间（例如实数，度量为通常的距离）。给定某个测度空间()上的值可测函数的序列，以及一个有限测度的可测子集，使得在上几乎处处收敛于极限函数，那么以下结果成立：对于每一个，都存在的一个可测子集，使得，且在相对补集\上一致收敛于。

在这里，表示的测度。该定理说明，在上几乎处处逐点收敛，意味着除了在任意小测度的某个子集上外一致收敛。这种收敛又称为几乎一致收敛。

假设的讨论

注意的假设是必要的。在勒贝格测度下，考虑定义在实直线上的实值指示函数的序列：

这个序列处处逐点收敛于零函数，但对于任何有限测度的集合，它在\上不一致收敛。度量空间的可分性是需要的，以保证对于值可测函数和，距离也是的可测实值函数。

证明

对于实数和，定义集合为以下并集：

当增加时这些集合逐渐变小，意味着总是的子集，因为第一个并集包含了较少的集合。一个点，使得序列收敛于，不能位于每一个中（对于固定的k），因为最终必须离比离更近。因此根据在上几乎处处逐点收敛的假设，有：

对于每一个。由于的测度是有限的，我们便可从上面推出连续性；因此对于每一个，都存在某个自然数n，使得：

对于这个集合中的，我们认为逼近的邻域的速度太慢。定义

为中所有点的集合，使得逼近的至少一个邻域的速度太慢。因此，在集合差\上，我们便得出一致收敛。

根据的可加性，并利用几何级数，我们便得到：