杨氏不等式

杨氏不等式又称Young不等式,Young不等式是加权算术-几何平均值不等式的特例,Young不等式是证明Holder不等式的一个快捷方法。

一般形式

假设 是非负实数, , ,那么

等号成立当且仅当 .

加权形式

假设 是非负实数, , ,那么

其中 任意小而 任意大。

当且仅当a=b时等号成立

Young不等式是加权算术-几何平均值不等式的特例,Young不等式是证明Holder不等式的一个快捷方法

证明

1.若b =0,不等式显然成立。

若b≠0, ,则该不等式变为

设,时,f严格递增,时,f严格递减,故f(t) f(1)=1-t,得证。

2.如果a>0且b>0,而数p,q满足:1/p+1/q=1,那么

a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b,当p>1

a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*b,当p<1

可以先证明:x>0时,

x^α-αx+α-1≤0,当0<α<1时;

x^α-αx+α-1≥0,当α>1时;

f(x)=x^α-αx+α-1

f'(x)=α[x^(α-1)-1],f'(1)=0

当0<α<1时;

当x∈(0,1);f'(x)>0;

当x∈(1,+∞);f'(x)<0;

∴f(x)在x=1处取最大值,又f(1)=0,∴f(x)≤0

当α>1时,

当x∈(0,1)时,f'(x)<0,

当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,

∴f(x)在x=1处取最小值,又f(1)=0,∴f(x)≥0

代入,x=a/b,α=1/p,得

f(a/b)=(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1

当p>1时,即0<α<1:

(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≤0

即(a/b)^(1/p)≤(1/p)*(a/b)+1/q

同时乘以b,得:

a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b

当p<1时,即α<0(p1(0

(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≥0即(a/b)^(1/p)≥(1/p)*(a/b)+1/q

同时乘以b,得:a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*b

证明2:令f(a)=a^p/p+b^q/q-ab,

f′(a)=a^(p-1)-b

令f′(a)>0,分2种情况

1、p>1,a>b^(1/(p-1))

f(a)>=f(b^(1/(p-1)))=0

即a^p/p+b^q/q>=ab

2、0

f(a)<=f(b^(1/(p-1)))=0

即a^p/p+b^q/q<=ab

证毕

参考资料