杨氏不等式又称Young不等式,Young不等式是加权算术-几何平均值不等式的特例,Young不等式是证明Holder不等式的一个快捷方法。
一般形式
假设 是非负实数, , ,那么
等号成立当且仅当 .
加权形式
假设 是非负实数, , ,那么
其中 任意小而 任意大。
当且仅当a=b时等号成立
Young不等式是加权算术-几何平均值不等式的特例,Young不等式是证明Holder不等式的一个快捷方法
证明
1.若b =0,不等式显然成立。
若b≠0, ,则该不等式变为
设,时,f严格递增,时,f严格递减,故f(t) f(1)=1-t,得证。
2.如果a>0且b>0,而数p,q满足:1/p+1/q=1,那么
a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b,当p>1
a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*b,当p<1
可以先证明:x>0时,
x^α-αx+α-1≤0,当0<α<1时;
x^α-αx+α-1≥0,当α>1时;
f(x)=x^α-αx+α-1
f'(x)=α[x^(α-1)-1],f'(1)=0
当0<α<1时;
当x∈(0,1);f'(x)>0;
当x∈(1,+∞);f'(x)<0;
∴f(x)在x=1处取最大值,又f(1)=0,∴f(x)≤0
当α>1时,
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
∴f(x)在x=1处取最小值,又f(1)=0,∴f(x)≥0
代入,x=a/b,α=1/p,得
f(a/b)=(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1
当p>1时,即0<α<1:
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≤0
即(a/b)^(1/p)≤(1/p)*(a/b)+1/q
同时乘以b,得:
a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b
当p<1时,即α<0(p1(0
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≥0即(a/b)^(1/p)≥(1/p)*(a/b)+1/q
同时乘以b,得:a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*b
证明2:令f(a)=a^p/p+b^q/q-ab,
f′(a)=a^(p-1)-b
令f′(a)>0,分2种情况
1、p>1,a>b^(1/(p-1))
f(a)>=f(b^(1/(p-1)))=0
即a^p/p+b^q/q>=ab
2、0
f(a)<=f(b^(1/(p-1)))=0
即a^p/p+b^q/q<=ab
证毕
参考资料