杨氏不等式又称Young不等式，Young不等式是加权算术－几何平均值不等式的特例，Young不等式是证明Holder不等式的一个快捷方法。

一般形式

假设 是非负实数， ， ，那么

等号成立当且仅当 .

加权形式

假设 是非负实数， ， ，那么

其中 任意小而 任意大。

当且仅当a=b时等号成立

Young不等式是加权算术－几何平均值不等式的特例，Young不等式是证明Holder不等式的一个快捷方法

证明

1.若b =0，不等式显然成立。

若b≠0， ,则该不等式变为

设，时，f严格递增，时，f严格递减，故f(t) f(1)=1-t，得证。

2.如果a>0且b>0，而数p,q满足：1/p+1/q=1，那么

a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b，当p>1

a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*b，当p<1

可以先证明：x>0时，

x^α-αx+α-1≤0，当0<α<1时；

x^α-αx+α-1≥0，当α>1时；

f(x)=x^α-αx+α-1

f'(x)=α[x^(α-1)-1],f'(1)=0

当0<α<1时;

当x∈(0,1);f'(x)>0;

当x∈(1,+∞);f'(x)<0;

∴f(x)在x=1处取最大值，又f(1)=0，∴f(x)≤0

当α>1时，

当x∈(0,1)时，f'(x)<0，

当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，

∴f(x)在x=1处取最小值，又f(1)=0，∴f(x)≥0

代入，x=a/b,α=1/p，得

f(a/b)=(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1

当p>1时，即0<α<1：

(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≤0

即(a/b)^(1/p)≤(1/p)*(a/b)+1/q

同时乘以b，得：

a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a+(1/q)*b

当p<1时，即α<0(p1(0

(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1≥0即(a/b)^(1/p)≥(1/p)*(a/b)+1/q

同时乘以b，得：a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a+(1/q)*b

证明2：令f（a）=a^p/p+b^q/q-ab，

f′（a）=a^（p-1）-b

令f′（a）>0，分2种情况

1、p>1，a>b^（1/（p-1））

f（a）>=f（b^（1/（p-1）））=0

即a^p/p+b^q/q>=ab

2、0

f（a）<=f（b^（1/（p-1）））=0

即a^p/p+b^q/q<=ab

证毕