导数（英语：Derivative），也叫微商，是微积分中的重要基础概念。当函数的自变量在点处产生一个增量时，函数值的增量与自变量增量的比值，在趋于0时的极限如果存在，该极限就是在处的导数，此时，称函数在点可导。如果函数在开区间内每一点都可导，这时函数对于区间内的每一个确定的值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数的导函数。导数反映了函数相对于自变量的变化快慢。函数在点处的导数是该曲线在点处的切线的斜率。在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
导数的思想是法国数学家皮耶·德·费玛为解决极大、极小问题而引入的。17世纪，数学家牛顿、戈特弗里德·莱布尼茨等从不同的角度研究微积分，他们分别在研究力学与几何学过程中建立了导数的概念。1797年，约瑟夫·拉格朗日首次给出了“导数”这一名称，并用来表示。1817年，波尔查诺第一个将导数定义为：当经由负值和正值趋于0时，比无限接近地趋向的量。1823年，奥古斯丁-路易·柯西在他的《无穷小分析教程概论》中用与波尔查诺同样的方式定义导数。
微分中值定理是导数应用的重要基础，包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。利用导数可以分析函数的单调性，凹凸性和极值等性态，还可以利用洛必达法则计算未定式的极限。
发展历史
大约在1629年，法国数学家皮耶·德·费玛研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分，其发现的因子就是导数。
17世纪，生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数
学家艾萨克·牛顿、戈特弗里德·莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，他在这本书里指出：变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫作流动量，把这些流动量的导数叫作流数。1675年，数学家莱布尼兹率先使用微商记号。 1677年，莱布尼兹得到了一些正确的微分公式，其中包括四则运算求导数法则，但他没有给出证明。
1737年，英国数学家辛普森在《有关流数的一篇新论文》中写道：“一个流动的量，按它在任何一个位置或瞬间所产生的速率（从该位置或瞬间起持续不变），在一段给定的时间内，所均匀增长的数量称为该流动量在该位置或瞬间的流数。”1750年，让·达朗贝尔提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单地表示为。也就是说，他把导数看作增量之比的极限，而不是看作微分或流数之比。1786年，拉格朗日用表示对的偏导数，这就是现代的偏导数符号。但是，这一符号当时没有立即得到通用，1841年，卡尔·雅可比再次强调了这一符号，并引入表示全微分而表示偏微分。1797年，约瑟夫·拉格朗日在《复变函数》中首次给出了“导数”这一名称，并用来表示。
1817年，波尔查诺第一个将导数定义为：当经由负值和正值趋于0时，比无限接近地趋向的量，并强调不是两个0的商，也不是两个消失了的量的比，而是前面所指出的比所趋近的一个数。1823年，奥古斯丁-路易·柯西在他的《无穷小分析教程概论》中用与波尔查诺同样的方式定义导数。
19世纪60年代以后，卡尔·魏尔施特拉斯又创造了语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义就成为现在所见的形式。
概念
基本定义
设函数在点的某邻域内有定义。当自变量在点处有增量(点仍在该邻域内）时，函数相应地有增量。若极限存在，则称函数在点处可导（或有导数或导数存在），并称此极限为函数在点处的导数，记作，，或。即。
若上式的极限不存在，则称函数f(x)在点x。处不可导或导数不存在。
左右导数
若单侧极限存在，则称此极限为在点处的左导数，记为。
若单侧极限存在，则称此极限为在点处的右导数，记为。
如果函数在开区间内可导，且在左端点的右导数存在，在右端点的左导数存在，则称函数在闭区间上可导。
导函数
如果函数在开区间内每一点都可导，就称函数在区间内可导。这时函数对于区间内的每一个确定的值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数的导函数，记作或，简称导数。
高阶导数
若函数y=f(x)的导函数f'(x)仍可导，则称为函数的二
阶导数，记为或，即。
一般地，把的阶导数的导数称为的阶导数，记为或。
偏导数
设二元函数在点的某个邻域有定义，固定，给以增量，称为在点处关于的偏增量。如果存在，则称该极限为函数在处关于的偏导数，记作或。
类似的方法，可以定义关于的偏导数。
意义
几何意义
函数在点处的导数就是该曲线在点处的切线的斜率，从而得切线方程为。
物理意义
物体作变速直线运动的运动方程为，设当时，物体位置在处，就是物体在时刻的瞬时速度，即。
导数的记号
表示导数的符号，有它发展变化的历史。
早在1671年，数学家艾萨克·牛顿在他的著作《流数法和无穷级数)一书中，称变量为“流量”，把流量的变化率叫做“流数”。这里所说的流数就是指“导数”的意思。如果以表示流量时，牛顿的流数用符号表示。并把的流数，记作。
用或者来表示导数的符号是法国数学家约瑟夫·拉格朗日创用的，所以又称为拉格朗日记号。
从微分之比来观察导数，又把导数叫做微商。也是表示导数的常用符号。1675年，数学家戈特弗里德·莱布尼茨率先使用微商，称为莱布尼兹记号。
计算方法
基本公式
参考资料
四则运算
设函数在点可导，则也在点可导；当时，在点可导，且
(1)；
(2)；
(3)。
链式法则
复合函数的求导满足链式法则。
设复合函数在点附近有定义，且，函数在点可导，函数在点可导，则函数在点可导，且。
隐函数求导
设函数在点的某邻域内具有连续的偏导数，且则方程在点的某邻域内确定唯一一个函数，满足，。
函数在的某邻域内单值、有连续的偏导数，且有偏导数公式
。
参数方程
设参数方程其中在(a，β）上可导，确定了函数关系，则该函数的导数为。
性质
可导与连续
若函数f在处有导数，则在处必连续。但是函数的连续性不能保证可导性。例如，在处连续，但是在处不可导
中值定理
罗尔定理
如果函数满足：
(1)在闭区间上连续；
(2)在开区间内可导；
(3）在区间端点函数值相等，即，
则在内至少存在一点，使得。
拉格朗日中值定理
若函数满足：
(1)在闭区间上连续；
(2)在开区间内可导；
则在内至少存在一点，使得。
柯西中值定理
若函数满足：
(1)在闭区间上连续；
(2)在开区间内可导；
则在内至少存在一点，使得。
泰勒公式
设函数在点处有阶导数，则在附近可表示为
其中
可导的条件
函数在一点处可导的充要条件是其在此点处的左导数和右导数都存在且相等。
对于多变量函数，函数在定义域内点的可微性保证了它在此点关于每个变量的偏导数的存在
性，但是相反的命题是不对的。
复变函数在点可导的充分必要条件是二元函数均在点可微且在该点满足。此时 ，函数在点的导数满足公式：。
导数应用
求未定式极限
当极限时，极限有多种可能的结果，有时这个极限存在，而有时这个极限不存在。通常称这类极限为未定式，并记为符号。同样，当极限时，极限也有多种可能的结果，也称这类极限为未定式，并记为符号。洛必达法则就是专门用来确定上述两种未定式极限的一种有效方法。
洛必达法则一
设函数与满足：
（1）在点的某一邻域内（点可除外）有定义，且
（2）在该邻域内可导，且；
（3）存在（或为）
则存在（或为）。
洛必达法则法则二
设函数与满足：
（1）在点的某一邻域内（点可除外）有定义，且
（2）在该邻域内可导，且；
（3）存在（或为）
则存在（或为）。
以上两个法则对于时的未定式”“，”“同样适用。
例：求极限
解：设，满足洛必达法则的条件，因为所以
。
研究函数性质
应用导数可以研究函数以及曲线的某些性态，这些形态包括单调性、凹凸性、极值与最值问题等。
函数的单调性
设f在开区间内可导，则有：
(1)在内单调增加的充要条件是；
(2)在内单调减少的充要条件是。
例：讨论函数的单调性。
解：因为，解得
。当时，所以函数在上单调增加。当时，，所以函数在上单调减少，当时，，所以函数在上单调增加。
极值问题
设函数在开区间内连续。任给一点，如果存在，使得函数在左右两侧，的单调性不同，则为函数的极值点。若单调性相同则不是。
设函数在点的一个邻域内可导。
(1)若在上，在上，
则在点取得极大值；
(2)若在上，在上，
则在点取得极小值。
设函数在处二阶可导，，则：
(1)当时，在取极小值；
(2)当时，在取极大值；
(3）当时，不能判断在是否取到极值。
例：求函数的极值。
解：是以为周期的周期函数，只考察的情况。
因为，解得。
由于，是极大值点，极大值为
由于，是极小值点；极小值为
凹凸性
设函数在区间上连续，如果对于上任意两点恒有，那么称曲线弧在区间上是(向上)凹的(或有凹弧)，也称在区间上为凹函数（如图1）；
如果恒有，那么称曲线弧在区间上是(向上)凸的(或有凸弧)，也称在区间上为凸函数（如图2）。
可以利用下面的结论分析函数的凹凸性。
设函数在区间上连续，在内具有一阶和二阶导数
(1)如果在内，那么曲线弧在区间上是凹的；
(2)如果在内，那么曲线弧在区间上是凸的。
例：判定曲线的凹凸性。
解：因为。当时，所以曲线在内是凸的；当时，所以曲线在内是凹的。
证明不等式
例：证明：当0时，。
证明：设，在闭区间上满足拉格朗日中值定理的条件，从而存在，有又因为，，所以，而当时，，所以。